设f(n)、g(n)是两个数论函数,它们的Dirichlet(狄利克雷)乘积也是一个数论函数,其定义为: [1]

简记为h(n)=f(n)*g(n)。 函数f(n)与g(n)的狄利克雷乘积也可以表示为

狄利克雷乘积有以下基本性质: [2] 1.满足结合律。设f,g,h为任意三个数论函数,则(f*g)*h=f*(g*h)。 2.满足交换律。设f,g为任意二个数论函数,则f*g=g*f。 3.对于所有的数论函数f(n),均有f(n)*I(n)=I(n)*f(n)=f(n),故I(n)在狄利克雷乘积中有单位元的作用,简称I(n)为单位数论函数,或称I(n)为卷积单位元。 4.若f(n),g(n)均为积性函数,则f*g亦为积性函数,反之,若g(n)与(f*g)(n)都是积性函数,则f(n)亦为积性函 数。特别地,当F=f*μ为积性函数时,f(n)亦为积性函数。 5.若g(n)是完全积性函数,且h=f*g,则f=h*μg,即若

积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数

性质一

这和算术基本定理有关。 若将n表示成质因子分解式

则有

性质二

f为积性函数且有

f为完全积性函数。

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